Solido de revolución
es el solido obtenido
al rotar una región del plano alrededor
de una recta que esta ubicada en el mismo, las cuales pueden cruzarse.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si
la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un
sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.
Rotación paralela al eje de abscisas (en el Eje x)
El volumen de un
sólido es generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y
g(x) definidas en el intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal recta
paralela al eje O X de expresión y=K siendo K constante, que nos da la siguiente formula general
En particular, si
se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del
eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:
Ambas expresiones
se deducen de que al hacer girar un área formada por innumerables rectángulos
de base dx y altura f(x), alrededor del eje X, forman discos colocados
verticalmente y su volúmenes sumados resultan en el volumen de todo el sólido.
Cada disco tiene volumen el de un cilindro como si fuera una moneda
acomodada verticalmente, donde el radio de la base del
cilindro es f(x), y la altura del cilindro es dx, por lo que el volumen del
cilindro resulta ser V=Πf²(x)dx y la suma de todos estos volúmenes parciales:
ya sean dos funciones f(x) y g(x), el volumen total será la resta del volumen mayor menos
el volumen menor
Pero si el giro es
alrededor de una recta al eje X: y=K, entonces la expresión resultante
es (siempre que K<X en para todo X):
en el caso en el
que K>X, es decir la recta X=K se encuentre a la derecha de las funciones se
debe aplicar:
Rotación paralela al eje de ordenadas (en el Eje y)
Es otro método que permite
la obtención de volúmenes generados por el giro de un área comprendida entre
dos funciones, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b], con f(x) > g(x)
en el intervalo [a,b].alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de
ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La formula general del volumen de estos sólidos es:
Esta fórmula se simplifica si al giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del
eje OY, sabiendo que el volumen del sólido de revolución viene generado por:
En el siguiente vídeo miraremos un ejemplo de solido de revolucion
